Шаг 1. Пусть a, b, c… k — фиксированное множество простых чисел.
Шаг 2. Умножим все числа этого множества, чтобы получить число a × b × c ×… × k. Назовем это число М.
Шаг 3. Увеличим его на единицу, чтобы получить М + 1.
Шаг 4. Является ли М + 1 простым числом?
(1) Если М + 1 — простое число, то мы добились своей цели найти простое число, не входящее в исходное множество.
(2) Если М + 1 — не простое число, то должно существовать простое число p, на которое оно делится. В таком случае p — это либо одно из простых чисел исходного множества, либо нет. Если нет, у нас есть новое простое число. Если да, нам известно, что М делится на p, поскольку М делится на все числа исходного множества. Но теперь у нас возникла ситуация, когда на p делится и число М, и число М + 1, что невозможно, поскольку эти два числа разделяет только одно число — 1, которое не является простым.
Отсюда следует вывод: либо М + 1 — это новое простое число, либо М + 1 делится на новое простое число. В любом случае задача Евклида выполнена. Он доказал, что конечное множество не покрывает всю совокупность простых чисел.
В доказательстве Евклида применен принцип, который обозначается термином reductio ad absurdum — «приведение к абсурду», когда абсурдный вывод демонстрирует ошибочность предпосылки. На шаге 4 (2) абсурдный вывод состоит в том, что на p должно делиться как число М, так и число М + 1, а ошибочная предпосылка в том, что число p принадлежит конечному множеству простых чисел. В книге A Mathematician’s Apology
[160] преподаватель Оксфордского университета Годфри Гарольд Харди писал, что доказательство Евклида «остается таким же актуальным и значимым, как и тогда, когда оно было открыто — две тысячи лет не оставили на нем никаких следов». Это короткое и точное доказательство, не требующее никаких дополнительных концепций, кроме сложения, умножения и деления. «Приведение к абсурду, которое так любил Евклид, — один из лучших инструментов математика, — добавил Харди. — Это гораздо более эффективный прием, чем любой шахматный гамбит. Шахматист может пожертвовать пешкой или даже более значимой фигурой, а математик ставит на кон игру».
Приведение к абсурду — это также один из любимых приемов комедиантов. Ирония используется для того, чтобы добиваться все более и более абсурдных выводов, тем самым все сильнее подчеркивая нелепость исходного предположения, — этот прием известен как сатира.
На самом деле я считаю, что сформулированное Евклидом доказательство бесконечности множества простых чисел комично само по себе. Для того чтобы найти новое простое число, Евклид должен сначала создать число М, которое не только до нелепости большое, но и представляет собой точную противоположность того, что он ищет, поскольку число М делится на каждое известное простое число. Затем, прибавив наименьшее число 1, Евклид переворачивает ситуацию с ног на голову. Мельчайший дополнительный элемент расшатывает почву под ногами огромного, мегаделимого монстра М и составляющих его простых чисел, беспощадно раскрывая их ограниченность. Подобно саркастической фразе, прозвучавшей в фильме Wayne’s World («Мир Уэйна»), Евклид говорит: «Эта группа простых чисел включает в себя все числа… нет!»
В математике много шутников.
Как только мы, люди, обретаем способность держать ручку в руках, мы начинаем машинально рисовать что-то на бумаге. Самый распространенный способ — в случайном порядке начертить на листе бумаги продольные и поперечные линии и заштриховывать образовавшиеся сегменты. Этот способ особенно хорош тем, что позволяет разместить рисунок так, чтобы заштрихованные сегменты имели общие стороны только с незаштрихованными, и наоборот. Подобный тип рисунка называется двухцветным, поскольку содержит всего два цвета. Чтобы доказать, почему мы можем выполнить такой рисунок в двух цветах, необходимо ввести еще один распространенный математический инструмент — доказательство методом индукции.
В философии и эмпирической науке индукция — это принцип, который гласит, что если событие наблюдалось много раз в прошлом, то можно предположить, что оно снова произойдет в будущем. Например, Солнце восходит каждое утро с незапамятных времен. Следовательно, было бы логично предположить, что оно взойдет и завтра. Мы не можем доказать, что Солнце завтра взойдет, но можем быть уверены в этом. Однако в математике мы не можем делать какие-то предположения исключительно на основании прошлого опыта.
Рассмотрим пять кругов, представленных на рисунке ниже. В первом случае на линии окружности есть только одна точка, во втором две, в третьем три, в четвертом четыре и в пятом пять. Давайте соединим точки прямыми линиями и посчитаем, сколько секторов получилось в каждом круге. Эти круги разделены на 1, 2, 4, 8 и 16 секторов. Закономерность поразительна: это ведь последовательность, в которой каждое число в два раза больше предыдущего! Можно ли сделать предположение, что если соединить шесть точек на окружности, то количество секторов составит 32?
Подсчитайте количество секторов в каждом круге и попробуйте догадаться, что будет дальше
Категорическое НЕТ! В случае шести точек будет 31 сектор, а по мере дальнейшего увеличения количества точек на линии окружности — 57, 99, 163, 256, 386… Закономерность здесь есть, но это не последовательность, в которой каждое число в два раза больше предыдущего
[161]. Ни в коем случае не следует делать выводы на основании ограниченного количества наблюдений, какими бы многообещающими эти выводы ни казались.
В математике доказательство методом индукции — это способ выяснить, когда закономерность будет продолжаться до бесконечности. Если у нас есть последовательность таких утверждений:
1) — первое утверждение верно;
И
2) — если n-е утверждение верно, то утверждение n + 1 тоже верно;
то мы можем сделать вывод, что все эти утверждения верны.
Доказательство методом индукции аналогично падению костяшек домино. Если их поставить в ряд и n-я костяшка упадет, она толкнет костяшку n + 1, а значит, для того чтобы упали все костяшки, достаточно всего лишь опрокинуть первую костяшку.
Но вернемся к исходной задаче. Для того чтобы доказать, что машинальный рисунок может быть двухцветным, нам необходимо доказать, что:
