Чтобы вы смогли полнее почувствовать «вкус» квантовой теории, я хочу теперь показать вам, как физики вычисляют вероятность составных событий, т. е. таких событий, которые можно разбить на последовательность отдельных этапов, или таких, которые состоят из некоторого числа независимых событий.
Пример составного события можно получить, видоизменив наш первый эксперимент, в котором мы направляли красные фотоны на единственную поверхность стекла и измеряли частичное отражение. Вместо того чтобы помещать в А фотоумножитель (см. рис. 37), поставим туда экран с отверстием, через которое будут пролетать фотоны, достигшие точки А. Далее, поместим в В стеклянную пластинку, а в С фотоумножитель. Как вычислить вероятность того, что фотон попадет из источника в С?
Это событие можно рассматривать как последовательность двух этапов. Этап 1: фотон летит из источника в точку А, отразившись от единственной поверхности стекла. Этап 2: фотон летит из точки Ав фотоумножитель в С, отразившись от стеклянной пластинки в B. У каждого этапа имеется результирующая стрелка – «амплитуда» (я буду употреблять то одно, то другое слово), которую можно вычислить по уже известным нам правилам. Амплитуда первого этапа имеет длину 0,2 (квадрат ее равен 0,04, это вероятность отражения от единственной поверхности стекла) и направлена под некоторым углом – скажем, указывает на 2 часа (рис. 37).
Чтобы вычислить амплитуду второго этапа, мы временно поместим источник света в А и направим фотоны на стеклянную пластинку наверху. Нарисуем стрелки для отражений от передней и от задней поверхностей и сложим их – скажем, у нас получится результирующая стрелка длиной 0,3, указывающая на 5 часов.
Каким образом соединить обе стрелки, чтобы нарисовать амплитуду всего события в целом? Посмотрим на каждую стрелку по-новому: как на инструкцию, указывающую, во сколько раз сжиматьи на какой угол поворачивать.
В нашем примере первая амплитуда имеет длину 0,2 и повернута к 2 часам. Если мы начнем с «единичной стрелки» – стрелки длиной 1, направленной строго вверх, – мы должны сжать эту единичную стрелку от 1 до 0,2 и повернуть ее с 12 часов на 2 часа. Амплитуду второго этапа можно рассматривать как сжатие единичной стрелки от 1 до 0,3 и поворот с 12 часов на 5 часов.
Рис. 37. Анализируя составное событие, можно разделить его на последовательные этапы. В этом примере траекторию фотона S – С можно разделить на два этапа: 1) фотон летит из S в А и 2) фотон летит из А в С. Можно анализировать каждый этап по отдельности и каждую стрелку рассматривать по-новому: как единичную стрелку (стрелку длиной 1, указывающую на 12 часов), подвергнутую сжатию и повороту. В этом примере сжатие и поворот для 1-го этапа составляют 0,2 и 2 часа; сжатие и поворот для 2-го этапа составляют 0,3 и 5 часов. Чтобы получить амплитуду двух последовательных этапов, мы последовательно сжимаем и поворачиваем. Сначала сжимаем единичную стрелку до 0,2 и поворачиваем на 2 часа, затем сжимаем полученную стрелку до 0,3 и поворачиваем на 5 часов (как если бы она была единичной стрелкой). В результате получаем стрелку длиной 0,06, повернутую на 7 часов. Эта последовательность поворотов и сжатий называется «умножением» стрелок.
Далее, чтобы соединить амплитуды обоих этапов, будем сжимать и поворачивать стрелки по очереди. Прежде всего сожмем единичную стрелку от 1 до 0,2 и повернем ее с 12 часов на 2 часа; затем мы сожмем стрелку еще сильней, от 0,2 до трех десятых этой величины, и повернем ее на 5 часов, т. е. мы повернем ее с 2 часов до 7 часов. В результате получится стрелка длиной 0,06, направленная на 7 часов. Она представляет вероятность, равную 0,06 в квадрате, т. е. 0,0036.
Внимательно рассмотрев стрелки, мы видим, что последовательное сжатие и вращение стрелок дает такой же результат, как сложение их углов (2 часа + 5 часов) и умножение их длин (0,2×0,3). Понять, почему мы складываем углы, просто: направление стрелки определяется поворотом воображаемой стрелки часов. Поэтому суммарный поворот для двух последовательных этапов просто равен сумме поворота на первом этапе и дополнительного поворота на втором этапе.
Вопрос о том, почему мы называем этот процесс «умножением стрелок», требует несколько более подробного объяснения, но это интересно. Давайте взглянем на умножение с точки зрения древних греков (это не имеет никакого отношения к лекции). Греки хотели пользоваться не только целыми числами, поэтому они изображали числа отрезками. Любое число можно представить в виде преобразования единичного отрезка – растягивая или сжимая его. Например, если отрезок Апредставляет собой единицу (см. рис. 38), то отрезок В представляет собой 2, а отрезок С – 3.
Теперь, как умножить 2 на 3? Мы проводим преобразования последовательно: взяв отрезок А в качестве единицы, мы удлиняем его в два раза, а затем еще в три раза (или в три раза, а затем еще в два раза – порядок умножения не имеет никакого значения). В результате получается отрезок D, длина которого представляет 6. А как умножить ½ на ⅓? Взяв в качестве единицы отрезок D, сожмем его до ½, а затем до ⅓ от этого. В результате получится отрезок А, представляющий 1/6.
Рис. 38. Любое число может быть выражено в виде преобразования единичного отрезка посредством растяжения или сжатия. Если А – это 1, то B представляет собой 2 (растяжение), а С – 3 (растяжение). Умножение отрезков выполняется путем последовательных преобразований. Например, что значит умножить 3 на 2? Единичный отрезок растягивается в 3 раза, а затем еще в 2 раза, результат – растяжение в 6 раз (отрезок D). Если D – единичный отрезок, то отрезок С представляет собой 1/2 (сжатие), а отрезок В – 1/3 (сжатие), и умножение 1/2 на 1/3 означает, что единичный отрезок D сжат до 1/2, а затем до 1/3 от этого, давая ответ – сжатие до 1/6.
Рис. 39. Математики установили, что умножение стрелок может быть также выражено при помощи последовательных пре-образований (в нашем случае – сжатия и поворота) единичной стрелки. Как и при обычном умножении, от перемены мест сомножителей произведение не меняется. Чтобы получить ответ – стрелку X, вы можете умножать стрелку V на стрелку W или стрелку W на стрелку V.
Умножение стрелок устроено по этому же принципу (см. рис. 39). Мы последовательно проводим преобразование единичной стрелки – только преобразование стрелки включает теперь две операции – сжатие и поворот. Чтобы умножить стрелку W на стрелку V, мы сжимаем и поворачиваем стрелку настолько, насколько требует стрелка V, а затем настолько, насколько требует стрелка W – порядок опять не имеет никакого значения. Таким образом, умножение стрелок подчиняется тому же правилу последовательных преобразований, что и умножение обычных чисел
[8].
