Рис. 22. Каждый путь, по которому может идти свет, будет представлен в наших вычислениях стрелкой произвольной стандартной длины (как показано).
Хотя можно смело предположить, что все стрелки будут иметь почти одинаковую длину, они будут направлены по-разному, так как время пути по каждой траектории различно. Как вы помните из первой лекции, направление данной стрелки определяется конечным положением стрелки воображаемых часов, измеряющих время движения фотона по данной траектории. Ясно, что фотону, который попадает сначала в левый конец зеркала, а затем в детектор, требуется больше времени, чем фотону, попадающему в детектор из середины зеркала G (см. рис. 23). Или представьте на минуту, что вы очень торопитесь, а вам надо добежать от источника до зеркала, а оттуда попасть в детектор. Вы, конечно, понимаете, что глупо будет отправиться сначала в А, и потом проделывать весь долгий путь до детектора; гораздо быстрее будет коснуться зеркала где-нибудь в середине.
Рис. 23. В то время как длина стрелок существенно не меняется, направление будет различным, потому что фотону требуется разное время для движения по разным траекториям. Ясно, что время прохождения пути S – A – P больше, чем время про-хождения пути S – G – P.
Чтобы нам легче было вычислить направление каждой стрелки, я нарисую график прямо под зеркалом (см. рис. 24). Под каждой точкой зеркала, откуда мог отразиться свет, я отмечу по вертикали, сколько времени понадобилось бы свету, если бы он двигался именно по этой траектории. Чем больше времени понадобится, тем выше будут точки на графике. Начнем слева. Сначала фотону требуется довольно много времени, чтобы пролететь по траектории, имеющей точку отражения в А, так что поставим точку довольно высоко на графике. По мере продвижения к середине зеркала фотону требуется все меньше времени, чтобы проделать свой путь, поэтому ставим каждую следующую точку ниже предыдущей. После того как мы пройдем через центр, время полета фотона по каждой следующей, последовательно взятой траектории опять начнет увеличиваться, поэтому мы будем ставить наши точки соответственно все выше и выше. Для наглядности соединим точки: они образуют симметричную изогнутую кривую, которая начинается наверху, опускается и снова поднимается наверх.
Что это значит в смысле направления стрелок? Направление каждой отдельной стрелки соответствует тому, сколько времени понадобится фотону, чтобы попасть из источника в детектор по определенной траектории. Будем рисовать стрелки, начиная слева. Движение по траектории А требует больше всего времени, ее стрелка указывает в каком-то направлении (рис. 24). Стрелка для траектории В указывает в другом направлении, так как время движения по ней другое. В середине зеркала стрелки F, G и Н указывают почти в одном направлении, потому что время для них почти одинаково. Пройдя через центр зеркала, мы увидим, что каждая траектория с правой стороны зеркала соответствует траектории с точно таким же временем с левой стороны (это следствие того, что мы установили источник и детектор на одной высоте и точку G поставили точно в центре). Таким образом, стрелка, например, для траектории J направлена точно так же, как стрелка для траектории D.
Рис. 24. Все пути, по которым мог бы пойти свет (в этом упрощенном случае), показаны наверху, а крестиками на графике (ниже) отмечено время, необходимое фотону для прохождения пути от источника до фотоумножителя через данную точку зеркала. Под графиком изображено направление каждой стрелки. А еще ниже – результат сложения всех стрелок. Очевидно, что основной вклад в результирующую стрелку вносят стрелки от Е до J, направленные почти одинаково, так как движение по соответствующим траекториям занимает почти одинаковое время. В том же месте общее время минимально. Поэтому приближенно можно допустить, что свет идет по тому пути, который занимает меньше всего времени.
Теперь давайте складывать стрелки (рис. 24). Начиная со стрелки А, мы цепляем стрелки одну к другой, головой к хвосту. Теперь представим себе, что мы отправились на прогулку, а каждая стрелка соответствует одному шагу. Сначала мы уйдем недалеко, так как направление движения сильно меняется от одного шага к другому. Но через некоторое время стрелки начинают показывать примерно в одном направлении, и мы продвигаемся. А к концу прогулки направление от одного шага к другому опять резко меняется, и мы опять топчемся на месте.
Все, что остается теперь сделать, – провести результирующую стрелку. Мы просто соединяем хвост первой стрелки с головой последней и видим, насколько мы продвинулись в нашей прогулке (рис. 24). И обратите внимание – мы получили довольно длинную результирующую стрелку! Квантовая электродинамика предсказывает, что свет действительно должен отражаться от зеркала!
Теперь давайте разберемся. Что определяет длину результирующей стрелки? Мы замечаем целый ряд вещей. Прежде всего концы зеркала не играют существенной роли: там стрелки кружат и никуда не приводят. Если бы я отрезал концы зеркала – те части, возня с которыми, как вы инстинктивно чувствовали, была пустой тратой времени, это едва ли повлияло бы на длину результирующей стрелки.
Итак, где же та часть зеркала, которая в основном и определяет длину результирующей стрелки? Это та часть, где все стрелки направлены почти в одну сторону, потому что у них почти одинаковое время. Посмотрев на график, изображающий время для каждой траектории, вы увидите, что время почти одинаково для двух соседних траекторий внизу кривой, там, где время наименьшее.
Итак, наименьшее время там, где оно почти одинаково для соседних траекторий, где стрелки указывают почти в одном направлении и при сложении дают значительную длину. Именно там определяется вероятность отражения фотона от зеркала. Вот почему в грубом приближении приемлемо упрощенное представление о мире, согласно которому свет идет там, где время наименьшее (и легко доказать, что там, где время наименьшее, угол падения равен углу отражения, но у меня нет времени, чтобы вам это показать).
Таким образом, квантовая электродинамика дала правильный ответ: именно середина зеркала важна для отражения, – но этот правильный результат получен за счет допущения, что свет отражается от всего зеркала и при помощи сложения множества стрелочек, которые были нужны только для того, чтобы взаимно уничтожиться. Все это может вам показаться пустой тратой времени – глупой игрой в математику. Это вовсе не похоже на настоящую физику – иметь дело с чем-то, что только исчезает!
Давайте при помощи другого эксперимента проверим идею, что отражение действительно происходит от всей поверхности зеркала. Во-первых, отсечем большую часть зеркала и оставим около четверти его с левой стороны. У нас все еще имеется довольно большой кусок зеркала, только находится он в другом месте. В предыдущем эксперименте стрелки с левой стороны зеркала указывали в самых разных направлениях из-за большой разницы во времени между соседними траекториями (рис. 24). В этом эксперименте я собираюсь произвести более детальный расчет, используя гораздо меньшие интервалы между траекториями в левой части зеркала – настолько маленькие, что между соседними путями не будет большого различия во времени (см. рис. 25). На этой более детальной иллюстрации видно, что одни стрелки указывают больше вправо, другие – больше влево. Если мы сложим все стрелки, то получим, по существу, кольцо и нулевую результирующую стрелку.
