Всякий раз, когда я навещаю Большую арку, у меня возникает жутковатое чувство из-за воющего ветра, который стремится протащить вас через центр арки. Ветер стал настолько заметной проблемой, что дизайнерам пришлось сделать навес посреди арки для воспрепятствования потоку воздуха, словно строительство тени гиперкуба в Париже открыло портал в другое измерение.
Есть и другие способы представить четырехмерный куб в нашем трехмерном мире. Подумайте, как бы вы сделали трехмерный куб из куска двумерного картона. Сначала вы бы нарисовали шесть квадратов, объединенных в крестообразную форму, причем каждый из квадратов представляет грань куба. Затем вы свернете крестообразную форму в куб. Двумерная заготовка из картона называется разверткой трехмерной формы. Подобным образом в нашем трехмерном мире можно построить развертку, которую в четырех измерениях удалось бы сложить в четырехмерный куб.
Вы можете приняться за изготовление четырехмерного куба с того, что вырежете и сложите восемь трехмерных кубов. Они будут «гранями» вашего четырехмерного куба. Чтобы сделать его развертку, нужно соединить восемь кубов вместе. Сначала склейте в колонну первые четыре куба, один поверх другого. Теперь возьмите оставшиеся четыре куба и приклейте их к граням одного из четырех кубов в колонне. Ваш развернутый гиперкуб теперь должен выглядеть как два пересекающихся креста, что показано на рис. 2.37.
Рис. 2.37. Как сделать четырехмерный куб из восьми трехмерных кубов
Чтобы сложить развертку, вам необходимо начать с соединения верхнего и нижнего кубов в колонне. Следующим шагом стало бы соединение с нижним кубом обращенных наружу граней двух кубов, прикрепленных к противоположным сторонам колонны. Далее надо приклеить грани двух других боковых кубов к двум оставшимся граням нижнего куба. Разумеется, как только вы начнете сворачивать развертку, вы столкнетесь с проблемой: в нашем трехмерном пространстве не хватает места для выполнения этих действий. Вам необходимо четвертое измерение, чтобы собрать гиперкуб в соответствии с моим описанием.
Подобно тому как архитектора вдохновила тень четырехмерного куба, художник Сальвадор Дали был заинтригован идеей о развертке гиперкуба. На своей картине «Распятие, или Гиперкубическое тело» Дали изображает Христа распятым на трехмерной развертке четырехмерного куба. Для Дали понятие четвертого измерения как чего-то лежащего вне нашего материального мира, резонировало с представлением о духовном мире, находящемся вне нашей физической Вселенной. Его развернутый гиперкуб состоит из двух пересекающихся крестов, и картина наводит на мысль, что вознесение Христа на небо связано с попыткой сложить эту трехмерную структуру в дополнительном измерении, выходящем за пределы физической реальности.
Все наши попытки изобразить четырехмерную форму в трехмерной Вселенной не дадут полной картины, подобно тому как тень или силуэт в двумерном мире предоставляет лишь частичную информацию. Когда мы двигаем и поворачиваем предмет, тень изменяется, но мы никогда не видим все разом. Эта тема была подхвачена писателем Алексом Гарлендом в книге «Тессеракт» (другое название четырехмерного куба). Повествование передает взгляды различных персонажей на главные события, происходящие в преступном мире Манилы. Никакое отдельно взятое суждение не дает полной картины, но, сводя воедино все нити, что подобно разглядыванию множества различных теней, отбрасываемых предметом, читатель начинает понимать возможный сюжет. Но четвертое измерение важно не только для создания строений, картин и романов. Оно также может быть ключом к форме самой Вселенной.
Какова форма вселенной в видеоигре «Астероиды»?
В 1979 г. компьютерная компания Atari выпустила свою самую популярную видеоигру «Астероиды». Ее целью было подбить и уничтожить астероиды и летающие тарелки, одновременно уклоняясь от пролетающих астероидов и ответного огня летающих тарелок. Аркадная версия игры была настолько успешна, что в США потребовалось устанавливать в игровые автоматы бо́льшие контейнеры, чтобы вместить возросший поток 25-центовых монет.
Но с математической точки зрения интерес представляет геометрия игры: как только космический корабль пересекает верх экрана, он волшебным образом появляется внизу. Подобным образом при пересечении экрана слева космический корабль снова появляется на экране справа. Получается так, что наш космонавт заперт в двумерном мире, и вселенная целиком видна на экране. Хотя эта вселенная конечна, у нее нет границ. Поскольку космонавт никогда не доходит до края, он живет не внутри прямоугольника, а перемещается в более интересной вселенной. Можем ли мы понять, какова ее форма?
Если космонавт выходит с экрана наверху и снова появляется внизу, то эти части вселенной должны быть соединены. Представьте, что компьютерный экран сделан из гибкой резины, так что мы можем согнуть его и соединить верх с низом. Теперь мы видим, что, когда космонавт летит по экрану вертикально, он на самом деле кружится и кружится по цилиндру.
А что происходит в другом направлении? После того как космонавт исчезает с экрана слева, он снова появляется справа, поэтому два конца цилиндра также должны быть соединены. Если мы отметим точки, где они соединяются, то поймем, что цилиндр нужно согнуть и совместить его основания. Итак, в действительности наш космонавт живет на поверхности бублика, или на торе, как называем ее мы, математики.
С помощью этого куска резины я проиллюстрировал новый способ глядеть на формы, который появился в математике примерно сто лет назад. Для древних греков смысл геометрии (что буквально означает на греческом «измерение земли») состоял в определении углов и расстояний между точками. Но при анализе формы вселенной космонавта из игры «Астероиды» главными для нас были не расстояния, а то, как части формы соединены друг с другом. Этот новый взгляд на формы, когда разрешается сжимать и растягивать их, словно они сделаны из резины или пластилина, называется топологией.
Многие люди используют топологические карты каждый день. Узнаёте карту, показанную ниже? Это геометрическая карта лондонского метро, но она не слишком удобна для ориентирования, хотя и точна географически. Вместо нее лондонцы используют топологическую карту. Ее придумал Гарри Бек в 1933 г. – он сжимал и растягивал геометрическую карту, чтобы получить удобную в пользовании схему метро. Ее аналоги теперь распространены по всему миру.
Рис. 2.38. Геометрическая карта лондонского метро
Вопрос о том, можно ли развязать узел, также является топологическим, потому что при этом мы можем тянуть за веревки, но не разрезать их. Данный вопрос имеет фундаментальное значение для биологов и химиков, потому что человеческая ДНК стремится образовывать странные узлы. Некоторые болезни, например болезнь Альцгеймера, возможно, связаны с тем, как запутывается ДНК, и у математиков есть потенциал для разгадки их тайн.
