Я думаю, что вполне уместной будет литературная аналогия. Работая над этой главой, я читал роман канадского писателя Робертсона Дэвиса «Пятый персонаж». В нескольких предложениях он кратко суммирует то, что произошло с его персонажем: «Солдаты пришли в крайнее изумление, что я способен на такие вещи, чем привели в крайнее изумление меня самого… В их головах просто не укладывалось, что человек может иметь и другую, вроде бы совсем противоположную грань. Мне кажется, что я всегда считал самоочевидным, что каждый человек имеет по крайней мере две — если не двадцать две — грани…»
[9]
Позвольте теперь пояснить, к чему я привел эту цитату, на личном примере. Одной из многих вещей, которые я приобрел благодаря своей жене, было открытие новых способов видения мира. Мы вышли из совершенно разных слоев общества. Она родилась в маленьком городке, а я — в мегаполисе. Те, кто, подобно мне, вырос в мегаполисе, склонны воспринимать окружающих не так, как те, кто вырос в небольшом городке. Подавляющее большинство людей, которых вы встречаете ежедневно в большом городе, фигурально выражаясь, «одномерны». Вы воспринимаете мясника как мясника, почтальона как почтальона, врача как врача и так далее. Но в маленьком городке вам не удастся встретить просто мясника или просто почтальона, потому что все они, помимо всего прочего, еще и ваши соседи. Врач может по совместительству оказаться горьким пьяницей, а живущий напротив бабник — прекрасным учителем английского языка в местной школе. Подобно главному герою романа Дэвиса, я открыл для себя, что люди не могут быть легко классифицированы на основании какой-нибудь одной черты характера или рода занятий. Только когда осознаешь всю многогранность человека, получаешь возможность понять его.
Аналогично, каждый физический процесс во Вселенной — «многомерен». Только охватив взглядом множество, на первый взгляд, различных, а на самом деле эквивалентных описаний какого-нибудь явления, можно понять, «как это работает». Мы не способны понять природу, наблюдая только одну ее сторону. Хорошо это или плохо, но только математические соотношения позволяют нам увидеть целое на фоне частей, увидеть лес за деревьями. Математика позволяет представить сложный мир в виде простого сферического коня.
В каком-то смысле математика усложняет мир, открывая нам разные грани реальности. Но, поступая таким образом, она в действительности упрощает его для нашего понимания. Нет необходимости держать в голове одновременно все грани реальности, математика позволяет легко переходить от одной грани к другой. Если роль физики состоит в том, чтобы сделать для нас более понятной природу, то роль математики в том, чтобы сделать для нас более понятной физику.
Позволяя описать одно и то же явление разными способами, математика открывает для нас новые пути исследования природы, позволяя взглянуть на что-то давно известное с новой стороны. Кроме того, каждая новая грань реальности открывает возможность расширения наших представлений за пределы известного явления, приводя к новым открытиям. Было бы упущением с моей стороны не привести один известный пример, который не перестает восхищать меня вот уже двадцать пять лет, с тех пор, как я впервые узнал его от Фейнмана.
Речь пойдет о таком всем знакомом, но вместе с тем загадочном явлении, как мираж. Любой, кто когда-либо ехал на автомобиле в жаркий день по длинному прямому участку шоссе, наблюдал, как впереди то и дело возникают, а при приближении пропадают лужи, в которых отражается небо и окружающий пейзаж. Это менее экзотический вариант того, что видят бредущие через пустыню путники, бросающиеся к иллюзорному озеру, которое исчезает при их приближении.
Существует стандартное объяснение возникновения миража, заключающееся в том, что световые лучи преломляются, проходя границу двух сред. Это, в частности, объясняет, почему, стоя в воде, вы выглядите меньше ростом. Лучи света преломляются, пересекая поверхность воды, и вы видите собственные ступни выше, чем они расположены на самом деле:
Когда свет выходит из более плотной среды в менее плотную, как показано на рисунке (проходит путь от ваших ног в воде до ваших глаз в воздухе), он всегда преломляется в сторону более плотной среды. Если угол, под которым свет падает на границу сред, слишком большой, то свет вообще не выходит из более плотной среды, а испытывает полное внутреннее отражение. В результате акула, собирающаяся перекусить вами, оказывается скрытой от вашего взора.
В знойный день воздух над поверхностью дороги сильно нагревается и становится гораздо менее плотным. По мере удаления от разогретого асфальта воздух становится холоднее, и его плотность увеличивается. Когда луч света, приходящего от неба, приближается к поверхности дороги, он попадает во все более и более разреженные слои воздуха и испытывает преломление, отклоняясь в сторону более плотного, то есть холодного воздуха, пока не отразится обратно вверх.
Таким образом, разогретая дорога представляется вам как бы зеркалом, отражающим голубое небо. Если вы внимательно присмотритесь к миражу, то увидите, что это «зеркало» на самом деле расположено не на самой поверхности дороги, а чуть выше нее.
Это стандартное объяснение миража, и оно является вполне удовлетворительным, хотя и не особо вдохновляющим. Но существует другое объяснение того же явления, которое математически эквивалентно первому, но рисует всю картину существенно иначе. Это объяснение основано на принципе наименьшего времени, предложенном французским математиком Пьером Ферма в 1650 году, который гласит, что свет всегда распространяется по пути, для прохождения по которому ему требуется минимальное время.
Этот принцип прекрасно объясняет, почему свет в однородной среде распространяется по прямой линии, но как с его помощью объяснить мираж? Допустим, нам известно, что скорость света в менее плотном воздухе больше, чем в более плотном. Поскольку воздух вблизи дороги более горячий и менее плотный, то и свет вблизи дороги движется быстрее, чем вдали от нее. Теперь представьте себе луч света, который собирается попасть из точки A в точку В. Какой путь он выберет, руководствуясь принципом Ферма?
Один из возможных путей — это отрезок прямой линии, соединяющий точки A и B. Однако в этом случае свету придется проделать весь путь в холодном и плотном воздухе. Другой возможный путь показан на рисунке. В этом случае свет проходит большее расстояние, но он проводит большее время в менее плотном воздухе вблизи поверхности дороги, где он движется быстрее. Вычислив общее время, затраченное светом в каждом из двух вариантов, вы обнаружите, что кривой путь оказывается более быстрым, чем прямой.
