Первое. На протяжении следующей минуты, пожалуйста, проверьте, являются ли число на двери вашего номера и число на два больше простыми.
Далее. Если являются, то сообщите через предыдущие по порядку номера, что вы нашли простые числа-близнецы. Для быстрой отправки сообщений воспользуйтесь обычным методом (одна минута на первый шаг, а затем на каждый шаг отводится в два раза меньше времени, чем на предыдущий). Сохраните сообщение в комнате с наименьшим номером из тех, в которых ещё нет такой записи.
Далее. Сверьтесь с номером, следующим по порядку за вашим. Если у этого постояльца нет такой записи, а у вас есть, то сообщите в номер 1, что наибольшая пара простых чисел-близнецов существует.
Через пять минут администраторы будут знать, верна ли гипотеза о простых числах-близнецах.
Так что с математической точки зрения в неразрешимых вопросах, невычислимых функциях, недоказуемых теоремах нет ничего особенного. Они различаются только с точки зрения физики. Из разных физических законов будут вытекать разные бесконечные и разные вычислимые понятия, и разные истины, как математические, так и научные, окажутся при них познаваемыми. Лишь законы физики определяют, какие абстрактные сущности и отношения моделируются с помощью физических объектов, вроде мозга математика, компьютеров и листов бумаги.
Когда Гильберт сформулировал свои проблемы, некоторые математики задумывались над тем, существенна ли для доказательства конечность (с математической точки зрения). Ведь, в конце концов, математически бесконечность имеет смысл, так почему бы не быть бесконечным доказательствам? Гильберт, хотя и яро выступал в защиту теории Кантора, считал эту идею смехотворной. И таким образом и он, и его критики ошибались, как ошибался Зенон: все они предполагали, что некоторый класс абстрактных сущностей может что-то доказывать и что с помощью математических рассуждений можно определить, что это за класс.
Но если бы законы физики на самом деле были не такими, какими мы их сейчас считаем, то это могло бы сказаться и на множестве математических истин, которые мы тогда смогли бы доказать, и на операциях, доступных для использования в доказательстве. Законы физики в том виде, в котором они нам известны, придают особый статус таким операциям, как не, и и или, проводимым над отдельными битами информации (двоичными знаками или логическими значениями истина/ложь). Поэтому эти операции кажутся нам естественными, элементарными и конечными, так же, как и биты. При таких законах физики, как, скажем, в отеле «Бесконечность», существовали бы дополнительные привилегированные операции, действующие над бесконечными множествами битов. При каких-нибудь ещё законах физики операции не, и и или были бы невычислимы, а некоторые из наших невычислимых функций казались бы естественными, элементарными и конечными.
Это подводит меня к ещё одному противопоставлению, которое зависит от законов физики: простое и сложное. Мозг — это физический объект. Мысли — это вычисления таких типов, которые допускаются законами физики. Некоторые объяснения схватываются легко и быстро, как, например: «Если Сократ был мужчиной и Платон был мужчиной, то они оба были мужчинами». Оно простое, потому что выражено коротким предложением и опирается на свойства элементарной операции (а именно и). Есть объяснения, суть которых принципиально трудно ухватить, потому что даже в самой короткой своей форме они длинные и зависят от множества таких операций. Но будет ли объяснение длинным или коротким, потребуется ли для его составления много или мало элементарных операций — всё это полностью определяется законами физики, при которых оно формулируется и понимается.
Оказывается, в квантовых вычислениях, которые сегодня считаются полностью универсальной формой вычислений, точно такой же набор вычислимых функций, что и в классических вычислениях Тьюринга. Но квантовые вычисления находят лазейку в классическом понятии «простой» или «элементарной» операции. За счёт этого упрощаются некоторые интуитивно очень сложные вещи. Более того, понятие кубита (квантового бита), элементарного носителя информации в квантовых вычислениях, довольно трудно объяснить без использования квантовой терминологии. Зато бит представляется весьма сложным объектом с точки зрения квантовой физики.
Раз так, говорят некоторые, квантовые вычисления — не «настоящие» вычисления, а просто физика и техника. Они считают, что логические возможности, связанные с экзотическими законами физики, допускающими экзотические формы вычислений, не решают вопрос о том, что же такое доказательство «на самом деле». Свои возражения они высказывают примерно так: действительно, при подходящих законах физики мы смогли бы вычислить функции, не вычислимые по Тьюрингу, но это были бы не вычисления. Мы смогли бы установить истинность или ложность неразрешимых по Тьюрингу предложений, но это «установление» не было бы доказательством, потому что тогда наше знание о том, является ли предложение истинным или ложным, всегда зависело бы от наших знаний о том, что представляют собой законы физики. Если бы однажды мы обнаружили, что на самом деле законы физики другие, нам бы, возможно, пришлось пересмотреть и само доказательство и его вывод. Поэтому оно не было бы настоящим: настоящее доказательство не зависит от физики.
И снова мы видим то же самое заблуждение (а также своего рода джастификационизм, гонящийся за авторитетами). Наше знание о том, истинно или ложно высказывание, всегда зависит от знания о том, как ведут себя физические объекты. Если бы мы изменили свой взгляд на то, что делает компьютер или мозг, — например, решили бы, что наша собственная память ошибается в том, какие шаги в доказательстве мы проверили, — то нам пришлось бы изменить своё мнение о том, доказали ли мы что-то или нет. И так же было бы в том случае, если бы мы изменили мнение о том, как согласно законам физики должен работать компьютер.
Верно математическое высказывание или нет, действительно не зависит от физики. Но его доказательство — дело только физики. Невозможно что-то абстрактно доказать, как невозможно и что-то абстрактно знать. Математическая истина — вещь абсолютно необходимая и трансцендентная, но все знания создаются в ходе физических процессов, а их объём и ограничения обусловлены законами природы. Можно определить класс абстрактных сущностей и назвать их доказательствами (или вычислениями) точно так же, как определить иные абстрактные сущности и назвать их треугольниками и заставить подчиняться законам евклидовой геометрии. Но нельзя вывести из этой «теории треугольников» некое представление о том, на какой угол вы повернётесь, если обойдёте замкнутый контур, состоящий из трёх прямых линий. Точно так же такие «доказательства» не позволят проверить истинность математических утверждений. Математическая «теория доказательств» не имеет отношения к тому, какие истины можно, а какие нельзя доказать или знать в реальности; аналогично, теория абстрактных «вычислений» не имеет отношения к тому, что можно, а что нельзя в реальности вычислить.
Таким образом, вычисление или доказательство — это физический процесс, в котором такие объекты, как компьютер или мозг, физически моделируют или воплощают абстрактные сущности, как, например, числа или уравнения, и имитируют их свойства. Это наше окно в мир абстрактного. И оно действует, потому что мы используем такие сущности лишь при наличии разумных объяснений, говорящих, что абстрактные свойства действительно воплощаются в соответствующих физических переменных применяемых объектов.
