Георг Кантор определил «бесконечное» множество как имеющее части, содержащие столь же много членов, как и все множество. На этой основе он смог построить наиболее интересную математическую теорию бесконечных чисел, включив в область точной логики целую область, до этого полную мистицизма и путаницы.
Следующей значительной фигурой был Фреге, который опубликовал свою первую работу в 1879 году, а в 1884 году дал свое определение «числа». Но, несмотря на то что его исследования открывали новую эпоху, он оставался непризнанным до тех пор, пока в 1903 году я не привлек внимания к его работам. Интересно отметить, что все определения числа, предложенные до Фреге, содержали элементарные логические ошибки. Обычно «число» раньше отождествляли с «множественностью, совокупностью». Однако конкретный пример «числа» – это определенное число, скажем 3, а конкретный пример 3 – это определенная тройка. Тройка и есть совокупность, а класс всех троек, который Фреге отождествляет с числом 3, есть совокупность совокупностей, а число вообще, частным случаем которого является 3, есть совокупность совокупностей совокупностей. Элементарная грамматическая ошибка, состоящая в смешении числа вообще с простой совокупностью данной тройки, сделала всю философию числа до Фреге переплетением абсурда в самом строгом смысле слова. Из работ Фреге следует, что арифметика и чистая математика в общем есть не что иное, как продолжение дедуктивной логики. Это опровергает теорию Канта о том, что арифметические суждения являются «синтетическими» и заключают в себе ссылку на время. Дальнейшее выведение чистой математики из логики было детально осуществлено Уайтхедом и мной в «Principia Mathematica».
Постепенно становилось ясным, что большую часть философии можно свести к так называемому «синтаксису», хотя это слово надо здесь использовать в более широком смысле, чем к этому привыкли до сих пор. Некоторые ученые, в особенности Карнап, выдвинули теорию, что все философские проблемы в действительности являются синтаксическими, и если избежать ошибок в синтаксисе, то любая философская проблема будет или решена средствами синтаксиса, или будет показана ее неразрешимость. Я думаю, и Карнап теперь согласится, что это преувеличение, но нет сомнения, что пригодность философского синтаксиса для решения традиционных проблем очень велика.
Я проиллюстрирую эту пригодность кратким объяснением того, что называют теорией дескрипций. Под дескрипцией я подразумеваю такую фразу, как, например, «теперешний президент Соединенных Штатов», где обозначается какая-то личность или вещь, но не именем, а некоторым свойством, принадлежащим, как предполагают или как известно, исключительно этой личности или вещи. Такие фразы причиняли раньше много неприятностей. Предположим, я говорю: «Золотая гора не существует», – и предположим, вы спрашиваете: «Что именно не существует?» Казалось бы, что если я отвечу: «Золотая гора», – то тем самым я припишу ей какой-то вид существования. Очевидно, что, если я скажу: «Круглого квадрата не существует», – это будет не тем же, а другим высказыванием. Здесь, по-видимому, подразумевается, что Золотая гора – это одно, а круглый квадрат – другое, хотя и то, и другое не существует. Назначение теории описаний – преодолеть эти, а также и другие трудности.
Согласно этой теории, если утверждение, содержащее фразу в форме «то-то и то-то», анализируется правильно, то фраза «то-то и то-то» исчезает. Например, возьмем утверждение «Скотт был автором “Веверлея”». Теория интерпретирует это утверждение следующим образом:
«Один и только один человек написал “Веверлея”, и этим человеком был Скотт». Или более полно:
«Имеется один объект с, такой, что утверждение «х написал “Веверлея” истинно, если х есть с, и ложно в других случаях. Более того, х есть Скотт».
Первая часть этого высказывания до слов «более того» определяется как обозначающая: «Автор “Веверлея” существует (или существовал, или будет существовать)». Таким образом, «Золотая гора не существует» означает: «Не имеется объекта с такого, что высказывание «х – золотое и имеет форму горы» истинно только тогда, когда х есть с, но не иначе».
При таком определении не нужно ломать голову над тем, что мы подразумеваем, говоря: «Золотая гора не существует».
Существование, согласно этой теории, может утверждаться только относительно дескрипций. Мы можем сказать: «Автор “Веверлея” существует»; но сказать: «Скотт существует», – плохо грамматически или весьма плохо синтаксически. Все это объясняет два тысячелетия глупых разговоров о «существовании», начатых еще в «Теэтете» Платона.
Один из результатов этой деятельности в области философии, которую мы рассматриваем, – это свержение математики с величественного трона, который она занимала со времени Пифагора и Платона, и разрушение предубеждения против эмпиризма, которое из этого вытекало. И действительно, математическое знание не выводится из опыта путем индукции; основание, по которому мы верим, что 2 + 2 = 4, не в том, что мы так часто посредством наблюдения находим на опыте, что одна пара вместе с другой парой дает четверку. В этом смысле математическое знание все еще не эмпирическое. Но это и не априорное знание о мире. Это на самом деле просто словесное знание. «3» означает «2 + 1», а «4» означает «3 + 1». Отсюда следует (хотя доказательство и длинное), что «4» означает то же, что «2 + 2». Таким образом, математическое знание перестало быть таинственным. Оно имеет такую же природу, как и «великая истина», что в ярде 3 фута.
Физика, как и чистая математика, тоже дала материал для философии логического анализа. Особенно это относится к теории относительности и квантовой механике.
Для философа очень важна в теории относительности замена пространства и времени пространством-временем. Обыденный здравый смысл считает, что физический мир состоит из «вещей», которые сохраняются в течение некоторого периода времени и движутся в пространстве. Философия и физика развили понятие «вещь» в понятие «материальная субстанция» и считают, что материальная субстанция состоит из очень малых частиц, существующих вечно. Эйнштейн заменил частицы событиями; при этом каждое событие, по Эйнштейну, находится к каждому другому событию в некотором отношении, названном «интервалом», который различными способами может быть разложен на временной элемент и элемент пространственный. Выбор между этими различными способами произвольный, и не один из них теоретически не является более предпочтительным. Если даны два события А и В в различных областях, то может оказаться, что соответственно одному соглашению они будут одновременными, соответственно другому – А раньше, чем В, соответственно третьему – В раньше, чем А.
Из всего этого следует, что материалом (stuff) физики должны являться события, а не частицы. То, что раньше считали частицей, надо будет рассматривать как ряд событий. Ряд событий, заменяющий частицу, имеет важные физические свойства и поэтому должен быть нами рассмотрен. Но у данного ряда событий не больше субстанциальности, чем у любого другого ряда событий, который мы можем произвольно выбрать. Таким образом, «материя» является не частью конечного материала мира, но просто удобным способом связывания событий воедино.
