Рене — медсестра. Она никогда прежде не интересовалась математикой и на работе ни имела с ней дела. Но случайно получив доступ к этой программе, уже не может от нее оторваться.
— Я хочу провести прямую линию, параллельную оси у, — начинает девушка. Шонфельд сидит рядом с ней. Рене взволнованно смотрит на него. — Я уже пять лет всем этим не занималась.
Она принимается экспериментировать, вводя различные числа.
— Если я изменю угловой коэффициент вот так… минус один… Мне нужно сделать эту линию прямой.
Линия на экране монитора меняется в зависимости от вводимых чисел.
— Ой, так не получается.
У Рене удивленный вид.
— Что ты хочешь сделать? — спрашивает ее Шонфельд.
— Я хочу провести линию, параллельную оси у. Что мне для этого нужно? Кажется, мне нужно что-то изменить вот здесь (она показывает на рамку, куда вводится число для оси у). Вот что я поняла: если ты ставить вместо единицы двойку, то график резко меняется. Так, если мне нужно подняться выше, нужно менять дальше.
Это и есть «блаженное заблуждение» Рене. Она установила, что чем выше координата на оси у, тем больше поднимается линия. Из чего она делает вывод: вертикальную линию можно нарисовать, введя достаточно большую координату на этой оси.
— Думаю, двенадцати или тринадцати будет достаточно. А может быть, даже пятнадцати.
Она хмурится, пытаясь вместе с Шонфельдом разобраться, что к чему. Задает ему вопросы. Он осторожно подталкивает ее в нужном направлении. Она предпринимает одну попытку за другой, пробует один вариант за другим.
В какой-то момент она вводит 20. Линия немного поднимается.
Она вводит 40. Линия поднимается еще выше.
— Тут есть очевидное соотношение. Но никак не могу сообразить, что к чему… А если я введу восемьдесят? Если при сорока линия поднялась наполовину, тогда при восьмидесяти она должна подняться точно до оси у. Посмотрим, что у нас выйдет.
Она вводит 80. Линия поднимается еще выше, но все еще не вертикальна.
— А-а-а, это бесконечность, да? Линия никогда не будет совпадать с осью.
Рене близко подошла к решению. Но затем вновь возвращается к изначальному заблуждению:
— Так что же мне нужно сделать? Ввести сто? Каждый раз, когда число удваивается, линия приближается к оси наполовину. Но так и не доходит до нее. — Она вводит 100. — Уже ближе. Но все равно не совпадает.
Рене начинает думать вслух. Очевидно, ответ вот-вот будет найден.
— Ага, я так и знала… но… я знала. Больше число, выше линия. Только никак не могу понять, почему…
Она умолкает, глядя на экран монитора.
— Совсем запуталась. Одна десятая расстояния до единицы. Но я не хочу, чтобы…
И тут ее осеняет.
— Ага! Любое число, поделенное на нуль! — Ее лицо светится от радости. — Вертикальная линия есть любое число, поделенное на нуль, а это неопределенное число. О-о-о! Ладно. Теперь все ясно. Угловой коэффициент вертикальной линии нельзя определить. А-а-а! Теперь в этом есть смысл. Никогда этого не забуду!
6
За годы своей работы Шонфельд записал на видео многих студентов, пытающихся решить те или иные математические задачи. Но запись с Рене — одна из его любимых, поскольку она идеально иллюстрирует то, что он считает ключом к изучению математики. От начала эксперимента до фразы «А-а-а, теперь в этом есть смысл» прошло двадцать две минуты. Это много. «Это задача для восьмого класса, — говорит Шонфельд. — Но если я посажу на место Рене обычного восьмиклассника, уверен, после нескольких попыток он скажет: „Я не понимаю“, „Объясните мне“».
Однажды Шонфельд спросил у учеников средней школы, как быстро они сдаются, решая какую-либо задачу, если она не выходит с первого раза. Ответы варьировались от тридцати секунд до пяти минут, средняя продолжительность попыток равнялась двум минутам.
Однако Рене не отступалась. Она экспериментировала, снова и снова перебирая разные варианты. Размышляла вслух. Не бросала дело на полпути. Не сдавалась. На каком-то подсознательном уровне она чувствовала, что с ее «теорией» рисования вертикальной линии не все гладко, и не останавливалась до тех пор, пока не уверилась в своей правоте.
Рене не имела врожденных способностей к математике. Абстрактные понятия вроде «угловой коэффициент» и «неопределенный» давались ей с трудом. Именно поэтому Шонфельд считает ее пример наиболее впечатляющим.
«Ею движет желание разобраться, — говорит он. — Она не из тех, кто довольствуется поверхностным „да, вы правы“ и успокаивается. И это очень необычно. — Он отматывает кассету назад и показывает на Рене, с искренним удивлением вглядывающуюся в экран монитора. — Смотрите, как она внимательно изучает график. Многие студенты ограничились бы беглым просмотром. Она же размышляет: „Это не согласуется с моими представлениями. Я не понимаю. Это важно. Я хочу вникнуть“. И когда она наконец находит объяснение, то говорит: „Да, теперь все сходится“».
В Беркли Шонфельд ведет курс по решению задач, в ходе которого он, по его собственному утверждению, старается отучить студентов от математических привычек, усвоенных в школе. «Я выбираю задачу, ответ на которую мне неизвестен, — поясняет он, — и предупреждаю студентов: через две недели вам предстоит показать решение. Ваши привычки мне хорошо знакомы. Первую неделю вы будете валять дурака и приметесь за работу только на второй неделе. Так что хочу вас предупредить. За одну неделю с заданием вам не справиться. Начав с середины отведенного срока, вы не успеете, придете ко мне и скажете: „Это невозможно“. Советую начинать работать сразу же, и к началу второй недели вы увидите, что значительно продвинулись вперед».
Зачастую мы считаем математический талант врожденной способностью. Он либо есть, либо нет. Но для Шонфельда этот талант связан не столько со способностями, сколько с отношением. Математику осваивает тот, кто не боится пробовать. Этому Шонфельд и пытается научить своих студентов. Успех складывается из настойчивости, упорства и готовности на протяжении 22 минут разбираться с задачей, которую большинство людей бросили бы после 30 секунд. Посадите в классе целую группу из одних Рене, дайте им возможность и время самостоятельно изучать математику — и результаты будут ошеломляющими. А представьте страну, где упорство, свойственное Рене, является не исключением, а культурной характеристикой, укоренившейся так же глубоко, как культура чести на плато Камберленд. Жители этой страны наверняка проявляют способности к математике.
