То, что вы видите изнутри собора, – не внутренняя поверхность внешнего купола. На самом деле это второй купол, и его форма воспроизводит новую кривую, называемую цепной линией, которую, в частности, описал при помощи математического анализа Лейбниц. Такой купол способен стоять сам по себе, без поддержки. Кривую, о которой идет речь, образует цепь, подвешенная за два конца. Шар, свободно катящийся с горы, находит точку наименьшей энергии и останавливается в ней; свободно висящая цепь точно так же принимает форму с наименьшей потенциальной энергией. Природа очень хорошо умеет находить такие низкоэнергетические состояния. Но для архитекторов – в том числе Рена – важнее всего было то обстоятельство, что в перевернутом виде эта низкоэнергетическая кривая становится профилем, способным поддерживать свой собственный вес.
Какова же форма этой кривой? Лейбниц проводил эксперименты, пробуя разные формы и составляя уравнения потенциальной энергии для каждой из них. Затем он нашел кривую, соответствующую наименьшей энергии, при помощи математического анализа. Она и должна была соответствовать форме висящей цепи. Будущие поколения архитекторов могли использовать найденную форму для сооружения свободно стоящих куполов, не подвешивая в зданиях, которые они строят, настоящих цепей. Рена же форма цепной линии особенно привлекала тем, что она создает измененную перспективу: когда смотришь снизу на такой купол, он кажется выше, чем он есть на самом деле. Применение математики для создания оптических иллюзий было в большой моде в архитектуре периода барокко.
Оставалась еще одна задача: нужно было сделать так, чтобы внешний купол не мог обрушиться внутрь собора и разрушить великолепный внутренний. Поэтому между двумя куполами, которые мы видим, скрыт еще и третий. Недавно у меня была возможность попасть внутрь двух куполов Св. Павла и увидеть третий купол, который, собственно, и обеспечивает поддержку сферического внешнего купола. В этом скрытом куполе также использована цепная линия: чтобы определить форму арки, необходимой для поддержки главки, которую Рен установил в высшей точке внешнего купола. Если подвесить на цепь какой-нибудь груз, он оттянет цепь вниз. При помощи матанализа можно получить математическое описание этой новой формы, соответствующей минимальной энергии. Но интереснее всего вот что: если перевернуть эту новую кривую, получится арка, которая сможет выдержать установленный на ее вершине вес, эквивалентный весу груза, подвешенного на цепи. Именно так Рен и разработал форму внутреннего купола, поддерживающего вершину купола сферического, который мы видим извне.
Самый необычный пример использования цепей с грузами для строительства куполов можно увидеть, если спуститься в подвал храма Саграда Фамилия в Барселоне. Антони Гауди задействовал этот принцип при проектировании крыши еще недостроенной часовни. Он подвешивал множество мешков с песком, имитировавших предполагаемую нагрузку на конструкцию, на целую сеть веревок, которые провисали по цепным линиям. При перевороте кривых, образованных веревками, получалась форма будущей крыши, которая не обрушится под таким весом. Добавляя и передвигая мешки, Гауди добился нужной ему формы крыши часовни, точно зная, что она не провалится, когда он ее построит. Но, чтобы получить математическое описание всех этих кривых, которое можно было бы передать производителям, нужно воспользоваться шорткатом матанализа. Сегодня архитекторы разрабатывают здания криволинейных форм, украшающие панорамы наших городов, только вместо цепей и мешков с песком, которые нужно передвигать вручную, им помогают математический анализ и уравнения, обрабатываемые компьютерами.
Однако матанализ помогает строить не только соборы и небоскребы. Найденные Лейбницем кривые с оптимальными свойствами позволили открыть и кривые, лучше всего подходящие для сооружения американских горок!
Американские горки
Я очень люблю кататься на американских горках. Занудным математикам вроде меня кажется, что вагончики разгоняются до предельных скоростей и в то же время удерживаются на рельсах силой геометрии и матанализа, вложенных в создание этих трасс. В Европе есть одни американские горки, волнующие мою математическую кровь больше, чем какие бы то ни было другие: это трасса Гранд-Нэшнл в Блэкпуле. В поездке по этой трассе можно не только ощутить могущество математического анализа, но и встретиться с одним из самых интересных объектов математической кунсткамеры – лентой Мёбиуса.
Как можно догадаться по названию аттракциона, Гранд-Нэшнл – это гонка с участием двух поездов
[92]. Когда садишься в вагончик в верхней точке аттракциона, оказывается, что он состоит из двух параллельных трасс. Те, кто едет в разных поездах, проезжают изгибы, повороты и другие элементы трассы, названные именами наиболее известных препятствий знаменитых скачек, на расстоянии вытянутой руки друг от друга. Но, когда поезда выезжают на финальный участок перед самой финишной чертой, обнаруживается нечто странное. Каждый из них приезжает не к тому перрону, от которого он отправлялся, а к противоположному. Очень интересно. Трассы нигде не смыкаются и не пересекаются. Как же создателям аттракциона удалось провернуть этот фокус?
Этот эффект достигается в точке, названной в честь злополучного препятствия Бечерс-брук, где одна из трасс проходит над другой. После этого трассы оказываются по другую сторону друг от друга и заканчиваются у противоположных остановок.
Эта простая смена сторон в точке Бечерс-брук – главный элемент ленты Мёбиуса, прекрасной математической фигуры, лежащей в основе конструкции трассы. Чтобы сделать свою собственную ленту Мёбиуса, возьмите длинную полоску бумаги шириной около 2 сантиметров. Сверните ее в кольцо, но перед тем, как соединить концы полоски, переверните один из них на 180 градусов. Если представить себе бумажную ленту, проходящую между двумя трассами аттракциона Гранд-Нэшнл, то в точке Бечерс-брук, где две колеи проходят друг под (и над) другом и меняются местами перед возвращением к началу трассы, эта бумажная лента переворачивается на 180 градусов.
Лента Мёбиуса обладает весьма любопытными свойствами. У нее всего одна сторона. Приложите к ней палец и проведите им по всему кольцу. Вы сможете довести его до любой другой точки на поверхности ленты. Это означает, что трасса американских горок в Блэкпуле – это, по сути дела, не две параллельные колеи, а одна непрерывная колея. Но больше всего американским горкам, подобным аттракциону в Блэкпуле, нужна скорость!
Если вам нужны самые скоростные американские горки, оказывается, что матанализ поможет вам составить самый быстрый маршрут до цели. Собственно говоря, это и есть та головоломка, с которой начинается эта глава. Если даны две точки А и Б в вертикальной плоскости, какой будет кривая, начинающаяся в точке А и кончающаяся в точке Б, которую объект, движущийся только под воздействием силы тяжести, пройдет за самое короткое время?
Эту задачу впервые задал не разработчик парка аттракционов, а швейцарский математик Иоганн Бернулли, и было это в 1696 году. Он выбрал ее, чтобы устроить поединок между двумя величайшими умами того времени – своим другом Лейбницем и его лондонским соперником Ньютоном:
