Проведем на графике горизонтальную прямую. В общем случае она пересекает кривую в двух точках – кроме самой вершины, в которой горизонтальная прямая лишь касается кривой в одной точке. Эту точку мы и ищем: это вершина графика, соответствующая самой большой площади. Ферма нашел способ определять эту точку, не строя графика. Оказалось, что оптимальную площадь участка дает значение Х = 2,5. Участок получился не квадратом, а прямоугольником, длинная сторона которого в два раза длиннее короткой. Если вы не боитесь алгебраических выкладок, вот вам более подробное изложение идеи Ферма.
Пусть Х = а. Тогда горизонтальная прямая, проведенная через эту точку, пересечет другую сторону кривой в некоторой точке X = b, в которой высота кривой такая же, как и в точке Х = а. Значит, это точка, в которой
10a – 2a2 = 10b – 2b2
Это равенство можно упростить при помощи некоторых алгебраических приемов. Перенесем все члены с квадратами в одну сторону:
2a2 – 2b2 = 10a – 10b
Но выражение с квадратами можно разложить на множители:
2(a – b)(a + b) = 10(a – b)
Разложить алгебраическое выражение на множители означает переписать его в виде произведения двух более простых выражений. В нашем случае речь идет о разности двух квадратов, которая попросту равна произведению (a – b) и (a + b). Но теперь видно, что обе части нового равенства содержат множитель (a – b). Его можно сократить с обеих сторон, и тогда мы получим
(a + b) = 5
Но Ферма интересовала та точка, в которой a и b равны, потому что именно она соответствует вершине кривой. В этой точке b = a. Подставив это в наше уравнение, получим
2a = 5
Точка, в которой находится вершина кривой, соответствует а, равному 2,5. Это длина стороны прямоугольника, дающего наибольшую площадь земельного участка. Следовательно, размеры прямоугольника – 2,5 на 5.
В приведенных выше вычислениях есть один интересный момент, касающийся деления на (a – b). С этой операцией все в порядке, кроме случая, когда a = b, в котором получается, что мы делим на 0, чего делать нельзя. Но погодите. Разве Ферма не хотел найти именно ту точку, в которой a = b? Как же с этим быть?
Для этого и нужен математический анализ. Он делает деление на 0 осмысленной операцией.
Мы видели математические операции, но где же математический анализ? Анализ позволяет получить наклон касательной к каждой точке кривой. Ферма понял, что максимум площади достигается в точке, в которой касательная горизонтальна. Это та точка, в которой наклон, то есть производная, равен нулю. Именно в этом заключается метод использования матанализа для поиска оптимальных значений функций: нужно найти точку, в которой производная функции равна нулю.
Кривая, описывающая площадь земельного участка, выглядит на удивление похоже на кривую, которую Ньютон построил для определения высоты полета своего яблока. Формула площади участка, 10Х – 2Х2, и формула удаления яблока от моей руки – 25t – 5t2, – это, по сути дела, одна и та же формула. Вторая получается из первой простым умножением на 2,5. В этом состоит один из великих шорткатов математики. Одно и то же уравнение может быть применимо ко множеству разных сценариев. В случае яблока точка, соответствующая наибольшей высоте его полета в воздухе, – это тот момент, когда скорость яблока становится нулевой и оно начинает лететь в противоположном направлении.
Но формулы такого рода могут описывать и многие другие вещи: энергопотребление, количество стройматериалов, длительность поездки. Появление метода, позволяющего найти наилучший способ максимизации или минимизации этих разнообразных величин, совершило настоящую революцию. Если формула дает зависимость прибыли компании от разных факторов, которые компания может регулировать, кому не захочется иметь средство, позволяющее настроить эти факторы так, чтобы получать наибольшую прибыль? Математический анализ – это шорткат к максимальной прибыльности.
Математика на стройке
Хотя математический анализ в первую очередь был создан, чтобы анализировать изменения, происходящие с миром во времени, он также полезен и для изучения изменений, происходящих вне времени. В частности, матанализ стал мощным средством для рассмотрения разных вариантов проектирования зданий и поиска тех из них, которые оптимизируют экономию энергии, шумоподавление или стоимость строительства, в то же время позволяя построить здание, которое выдержит испытание временем.
Одно такое здание, завершенное в 1710 году, до сих пор гордо возвышается не очень далеко от того места, где я живу в Лондоне: это собор Святого Павла. Я испытываю слабость к этому зданию отчасти потому, что проектировал его математик, учившийся в том же оксфордском колледже, в котором был студентом и я. До того, как Кристофер Рен стал одним из ведущих архитекторов Англии, он учил математику в Уодхэм-колледже. Студентом он освоил широкий диапазон методик, которые впоследствии позволяли ему находить шорткаты к проектированию некоторых из самых замечательных зданий в стране.
Одним из его первых великих свершений было строительство Шелдонского театра в Оксфорде: в этом здании студентам университета торжественно выдают дипломы. Это здание прекрасно тем, что в нем нет несущих колонн, на которые опиралась бы его огромная крыша. Причина этого была, видимо, не в том, что колонны мешали бы родителям видеть, как их чада получают дипломы, а в том, что раньше здание использовалось в основном для танцев. Рен сумел соорудить эту необычайно обширную крышу без видимых опор при помощи решетчатой структуры из балок, которая переносит нагрузку на края, опирающиеся на внешние стены. Но, чтобы найти работоспособный вариант конструкции, ему нужно было решить систему из 25 линейных уравнений. Хотя Рен и получил математическое образование, эта задача поставила его в тупик, и в конце концов он обратился за помощью к Джону Валлису
[91], профессору кафедры геометрии, учрежденной Генри Савилем. Обращение за помощью часто бывает важным шорткатом!
Но по-настоящему математические дарования Рена проявились при строительстве купола собора Св. Павла. Купол, который видишь, подходя к собору, имеет сферическую форму. Сфере присущи красота и совершенство, особенно ясно видные на расстоянии. Кроме того, сферическая форма отсылала к идее церкви, объемлющей сферическое мироздание. Но с точки зрения строительства у сферы есть один важный недостаток. Она не может стоять сама по себе. Ее глубина недостаточна, чтобы выдерживать ее собственный вес, так что, если бы купол ни на что не опирался, он обрушился бы в самую середину собора. Поэтому на самом деле у Св. Павла не один купол, а целых три.
