Однако система счисления вавилонян была не десятичной, а шестидесятеричной. Поэтому при каждом смещении на шаг влево значение увеличивалось на число, кратное 60. Например, число 111 в вавилонской системе было бы равно 1 × 602 + 1 × 60 + 1 = 3661. Этот шорткат был исключительно полезным. При помощи всего двух символов,
и
, можно было выразить сколь угодно большое число. Но не любое число. Для этого нужен был еще один символ. Что делать, если нужно было записать число 3601? Требовалось показать, что в разряде шестидесяти ничего нет. Нужен был символ для пустого места. В вавилонской клинописи отсутствие какой-либо степени 60 обозначалось двумя маленькими насечками:
.
Этот шорткат к записи больших чисел открыли и майя. У них уже был символ для обозначения числа 5. Линия. Три линии могли обозначать 15. Три линии и четыре точки – 19. Но затем майя решили, что записи становятся слишком громоздкими. Поэтому символы, стоящие у них в следующих позициях, стали обозначать степени двадцати. Так, число 111 в системе счисления майя обозначает 1 × 202 + 1 × 20 + 1 = 421. Вскоре и они поняли, что в некоторых местах требуется символ, обозначающий пустое место, и выбрали для этого изображение ракушки.
Майя были великими астрономами и регистрировали огромные промежутки времени. Рациональная система счисления, основанная на положении символов, позволила им оперировать астрономически большими числами, не создавая огромных списков символов.
Однако в обеих системах, и у вавилонян, и у майя, не хватало одного элемента – символа, обозначающего ничто. Этот революционный шаг сделала третья культура, изобретшая позиционную систему счисления, – индийцы.
Цифры, которые служат нам сегодня, мы часто называем арабскими, но это название ошибочно. Во всяком случае, оно не рассказывает всей их истории. Арабы, привезшие эту систему в Европу, научились ей у индийских писцов. На самом деле цифры следовало бы называть индо-арабскими. Индийская система счисления использует символы от 1 до 9, причем при каждом шаге влево значение цифры увеличивается в 10 раз. В этой системе есть и символ, обозначающий ничто. Ноль.
Когда европейцев познакомили с этой идеей, они ее не поняли. Зачем нужен символ, если нечего считать? Но для индийцев ничто, пустота – важная философская концепция, и они были готовы дать ей название и исчисление.
В Европе все еще использовали римские цифры, а вычисления производили на абаках. Но работа с абаком требует особых умений и навыков. Поэтому простым людям вычисления были недоступны. Вычисления позволяли власть имущим сохранять власть. От расчетов на абаке не остается записей. Есть только результат. Такой системой было удобно злоупотреблять.
Поэтому правящие круги пытались остановить распространение системы счисления, завезенной с Востока. Она дала бы простому человеку доступ к вычислениям и возможность записывать эти вычисления. Внедрение этого шортката к работе с числами было, вероятно, не менее важно, чем изобретение печатного станка. Оно открыло математику народу.
Черная магия математики
Сегодня наш шорткат к вычислениям – это компьютеры и калькуляторы. Но те, кому сейчас за пятьдесят, помнят, как их учили работать еще с одним шорткатом, помогавшим выполнять сложные арифметические вычисления: это были таблицы логарифмов. На протяжении целых столетий они были основным шорткатом для любого торговца, штурмана, банкира или инженера. Этот инструмент давал им преимущество перед любым конкурентом, пытавшимся выполнять расчеты «в лоб».
Могущество логарифмов поставил нам на службу шотландский математик Джон Непер. Мне очень хотелось бы познакомиться с Непером – не только потому, что он придумал этот удобный шорткат к вычислениям, но и потому, что он, судя по всему, был человеком безумно необычным. Непер, родившийся в 1550 году, увлекался теологией и оккультизмом. Он разгуливал по своему имению в сопровождении черного паука, которого держал в маленькой клетке. Соседи считали, что он якшается с дьяволом. Когда он пригрозил одному из них, что переловит его голубей, клевавших его зерно, сосед решил, что Непер блефует, так как поймать птиц невозможно. На следующее же утро он был поражен, увидев, как Непер ходит по полю, собирая неподвижно сидящих там голубей в мешок. Неужели их заколдовали? Как выяснилось, голуби просто опьянели, наклевавшись гороха, который Непер вымочил в бренди.
Непер активно эксплуатировал веру местных жителей в его колдовские способности. Когда ему нужно было выяснить, кто из его слуг ворует, он сказал им, что вора назовет его черный петух. Каждый из слуг по очереди должен был войти в комнату и прикоснуться к петуху. Непер утверждал, что при прикосновении преступника петух закричит. Когда все слуги побывали в комнате с петухом, Непер велел им показать руки. У всех кроме одного на руках была сажа. Непер вымазал ею петуха, зная, что только вор побоится прикоснуться к птице.
Помимо теологических изысканий Непера увлекала и математика. Но его интерес к числам был всего лишь хобби, и он сетовал на то, что все его богословские занятия не оставляют достаточно времени для выполнения вычислений. Затем, однако, он разработал хитроумную стратегию, позволяющую обойти те долгие вычисления, через которые он пытался продираться.
Вот что он писал в книге, посвященной этому шорткату:
Видя, что ничто, о любезные исследователи математики, не мешает математическим занятиям, а также не досаждает и не стесняет вычислителей более, нежели операции умножения, деления и извлечения квадратов и кубов больших чисел, кои не только отнимают непомерное время, но и бывают по большей части подвержены многим коварным ошибкам, начал я рассуждать в уме своем о том, какими надежными и удобными средствами смог бы я устранить такие затруднения.
В результате Непер открыл способ, превращающий трудную задачу перемножения двух больших чисел в гораздо более простую операцию сложения. Какую из следующих операций вы выполнили бы вручную быстрее:
или
Секрет этого волшебного превращения заключается в логарифмической функции. Функция подобна маленькой математической машине, которая берет одно число, а затем преобразует его в соответствии с внутренними правилами этой функции и выдает на выходе другое. Логарифмическая функция берет число и выводит то число, в степень которого нужно возвести 10, чтобы получить исходное
[25]. Например, если ввести в логарифмическую функцию число 100, на выходе получим 2, потому что при возведении 10 в степень 2 получается 100. Если ввести в логарифмическую функцию миллион, на выходе получится 6, потому что миллион – это 10 в 6-й степени.
